Чем укрепить пустотелую шиферную стенку на кухне в хрущевке?

Честно говоря ситуация не однозначная.

Я часто работал в Хрущёвках и могу точно сказать что стенка на которую крепятся кухонные навесные шкафы смежная не с залом, а с лестничной площадкой, более того, это несущая стена.

Или Вашу квартиру уже переделывали и речь не об кухонных шкафах над мойкой, а речь о противоположной стене и дополнительных шкафах на ней.

Что касается крепления шкафов на пустотелые конструкции, то вот к примеру Болт Молли (анкерный),

Что касается вопроса об "лучше снести", то конечно лучше, зачем дышать асбестом, плоский асбестоцементный шифер не применяют во внутренних помещениях, это ушло в прошлое вместе с Хрущёвым.

Что касается звукоизоляции, то вариантов совсем мало, ведь кухни в Хрущёвки и без того маленькие, что бы сделать каркас и заложить звукоизоляцию в него.

Как вариант, гипсокартон на клей и приклеить к асбестоцементному шиферу.

Насчёт укрепления, мало что понятно, плоский шифер крепится саморезами к каркасу, что надо укреплять?

Добавьте количество саморезов (уменьшаем шаг, увеличиваем крепление на погонный метр), проверьте крепление каркаса, возможно, бруски каркаса сгнили и стена "дышит", тут только полная замена брусков поможет.

Под саморезы сверлятся отверстия, советую использовать сверло по дереву (перьевое) идёт как в масло.

Плоский шифер сверлится без удара.