Можно ли как-то залатать электрический чайник?

Залатать можно попробовать, но в начале надо определиться где течь в электрочайнике, плюс надо знать из какого материала изготовлен его корпус, есть металлические электрочайники, есть пластиковые.

Течь может образоваться вот через такое уплотнительное кольцо,

Снимаем чайник с "базы", а ещё лучше просто вынимаем вилку из розетки.

Откручиваем дно электрочайника (на моём чайнике три винта, но возможны и иные варианты).

Далее (после того как открутили винты) отщёлкиваем дно чайника от корпуса.

Вынимаем нагревательный диск (просто вытягиваем его из корпуса).

Снимаем ту самую прокладку, если течь из-за образовавшейся грязи, накипи, то моем, чистим и устанавливаем эту же прокладку на место, если прокладка порвана, меняем на новую.

Всё, далее сборка чайника в обратной последовательности.

Если лопнул корпус электрочайника, то пластиковый, Вы вряд ли отремонтируете, попробовать можно, но чаще всего, чайник подлежит замене, а вот металлический корпус можно попробовать отремонтировать при помощи "холодной сварки" (есть высокотемпературные)­, но как показывает практика такой ремонт не долговечен.

Возможно трещина (течь) на индикаторе уровня воды в чайнике, надо снять крышку, добраться до индикатора и далее по месту принимать решение, возможно придётся заменить индикатор полностью, или перекрыть доступ воды в трубку индикатора, течь прекратится (проблема в самой трубке).