Я так понял, что в дровяную печь вмонтирован теплообменник из стальной трубы.
Если топить только дровами небольшой промежуток времени, то ничего страшного не произойдёт. Температура горения дров не настолько высока, чтобы повредить трубу. Ведь делают стальные печи-буржуйки, булерьян и т.д.
Если же топить углём или коксом, тогда могут быть проблемы - температура горения намного выше.
Ещё следует отметить, что наполнять систему водой нужно только при остывшей печке! От перепада температур стальные трубы могут лопнуть!