На мой взгляд, важен конечный результат, а каким инструментом уже затирать швы (фуговать) смотрите по месту, я например в качестве губки использую мебельный поролон, а не покупную тёрку с губкой, мне так удобней.
В начале очищаем швы кафеля от клея, убираем крестики и.т.д.
Увлажняем поверхность.
Размешиваем фугу, пропорции на таре, но консистенцию лучше подбирать индивидуально, для более качественного заполнения шва и что бы фуга не стекала со шпателей, консистенция должны быть чуть жиже густой сметаны.
Фугу развели, начинаем заполнять швы шпателями,
не плохой вариант иметь резиновые шпателя разного размера, если удобно, то можно и тёркой.
Шпатель держим под углом к кафелю, важный момент это полное заполнения шва.
Старайтесь затирать пару квадратов одним замесом, не стоит затирать всё и сразу, фуга высохнет быстрей чем Вы её нанесёте, или вытрите с поверхности кафеля.
Если навык получен, то можно и бОльшие площади затирать одним замесом.
Всё, осталось смочить губку в воде и убрать лишнюю фугу со швов и кафеля, тут важно что бы губка была влажной, вытирайте без фанатизма что бы не выбить фугу из шва.
Просушка и вытерли кафель сухой тряпкой.