Механизм крепления заводного ключа в часах в общем-то один что для наручных часов что для настенных (механических).
Это вал (шток) и заводной ключ,
или заводная головка.
На ключе, или головке нарезана внутренняя резьба, на валу (штоке) наружная.
Вылетать ключ может по двум причинам:
Ключ по резьбе закручивается по часовой стрелки, в обратном направлении, ключ откручивается.
Вам надо просто закрутить его на шток и всё на этом.
Возможно резьба повреждена, или на штоке, или на заводном ключе.
Если на ключе, то логичней купить новый.
Если нет, то можно вовнутрь заводного ключа в прямом смысле "капнуть" не много клея, к примеру эпоксидного и закрутить ключ (до застывания клея) на место.
После застывания эпоксидной смолы (в ней добавляется отвердитель 1:10) ключ больше не будет вылетать из своего мета.
Можно конечно попробовать подмотать тонкую нитку на внешнюю резьбу штока, это уплотнит резьбу, но на мой взгляд клей всё же лучше.