Почему греется вилка и провод электрочайника (при работе)?

Причины могут быть разные:

Проблема с вилкой, вилка в электрочайник не разборная, поэтому её лучше поменять.

Но в начале советую включить чайник в любую другую розетку.

Чайник наполняем водой, включаем, после закипания воды потрогайте вилку и провод, если они не нагрелись, то значит с вилкой всё в порядке.

Проблема может быть в розетке.

Отключите электричество (автомат на лестничной площадке) открутите один винт крепления крышки розетки и снимите её.

Осмотрите контакты, возможно они подгорели, а возможно просто ослабли, их надо подтянуть.

Возможно розетка не рассчитана под такую нагрузку.

К примеру розетка на 10 Ампер допустимая (и это максимальная) нагрузка в 2,2 кВт, возможно у Вас чайник более мощный.

В этом случае надо поменять розетку на более мощную, 16 Ампер к примеру.

Возможно установили двойную розетку и подключили два прибора одновременно.

То есть не рассчитали суммарную нагрузку на розетку.

Возможно проблема со скруткой проводов.

Некачественная скрутка плохой контакт и как итог греется розетка и от неё вилка и провод.

По правилам ПУЭ скрутки вообще недопустимы, провода лучше паять, или использовать вот такие клеммы,

Может быть в эту же розетку включён тройник, или удлинитель, тут причина та же что и в случае с двойной розеткой.

Реже, но всё же случается, брак заводской самого чайника, если купили не давно, то лучше сдать это изделие пока действует гарантия.