Если побелка пошла трещинами (и не важно какая это побелка меловая, или известковая) то вариант "что делать" тут только один.
Побелку нужно удалять с потолка и переделывать работу.
Трещины будут только увеличиваться в размерах и через короткое время побелка начнёт отходить от основания, "пластами".
Удалять побелку с потолка можно различными вариантами и даже с помощью электроинструмента с насадками (дрель, болгарка) но пыли много.
Я обычно удаляю побелку в ручном режиме.
Для этого нужна губка, или вот такой
пульверизатор (он же "опрыскиватель").
Вначале тщательно смачиваем потолок, можно локально, то есть предварительно разбиваем площадь потолка на "квадраты".
Далее увлажняем поверхность и ждём примерно 10-15 минут.
Побелка начнёт отслаиваться от потолка, можно ещё раз увлажнить (а можно обойтись и без повторного увлажнения, смотрите уже по месту, как лучше) и на финише удаляем остатки побелки шпателем .
Шпатель держим под небольшим углом к потолку, то есть почти параллельно.
А причины появления трещин на потолке (побеленном), могут быть следующими:
Пользователь ошибочно предположил что уже имеющиеся трещины можно скрыть побелкой.
То есть некачественно подготовил поверхность, не убрал трещины, например на штукатурке, или шпаклёвке.
Возможно побелка наносилась слишком большим слоем, под собственным весом она не выдержала такую нагрузку и пошла трещинами.
Или же слишком много слоёв поделки на потолке, например пытались забелить "желтизну" (распространённая ошибка) и "накладывали" слой за слоем что привело в появлению трещин.
Возможно поверхность не грунтовали перед побелкой, адгезия слабая, побелка отойдет от основы, но в начале пойдет трещинами.
Или же консистенция раствора не подходящая, например наносили побелку кистью, консистенция побелки густая.
Возможно не удалили старую побелку, в принципе можно белить несколько раз, но наиболее предпочтительный (он же правильный) вариант это удалить старую побелку и тем более нужно это сделать если она наносилась несколькими слоями.
Или же речь о меловой побелке, а Вы работаете с известковой.
Возможно поверхность не ровная, толщина слоя побелки из-за этого разная, там где толще могут появится трещины.