Поэтапно это делается так: Перекрываем воду в квартире, вода перекрывается коренными кранами, краны чаще всего, находятся в туалете.
Далее открываем шкафчик под мойкой. Откручиваем шланги смесителя, от труб, сам смеситель можно не снимать, или снять чуть позже, когда мойка будет демонтирована.
После смесителя, снимаем сифон, или вынимаем гофру из канализации, в отстойнике сифона, есть вода, надо её слить.
Теперь внимательно смотрим под мойку (подсвечиваем фонариком). Если мойку устанавливали в наше время и мойка современная (не Советская) , то под ней есть крепления, крепления разные, поэтому самостоятельно принимайте решение, как их открутить (обычно это один болтик).
Затем смотрим на стык между мойкой и поверхностью кухонного шкафа, возможно там силикон. Берём в руки острый нож и подрезаем силикон (в застывшем виде, он напоминает резину, режется легко).
Последняя операция, вынимаем раковину вверх , если всё сделали правильно, то она легко поддастся.
Проблема может возникнуть со старым смесителем, заржавел и всё такое, бывали случаи когда я его просто спиливал "болгаркой".
Возможно у Вас смеситель на жёстких железных трубах (Советский вариант), открутить их крайне сложно, можно так же спилить. Пилим в районе резьбовых соединений, при необходимости нарежем резьбу для нового смесителя (для его шлангов).