Методов реставрации мебели и из МДФ и из ДСП, довольно много, самыми не сложными считаются покраска, или оклейка изделий самоклеящейся плёнкой.
Но так как у Вас кот и он "балуется", то лучше покрасить, краску можно отреставрировать местами, плёнка после когтей, только на выброс.
Подготовка и МДФ и ДСП, практически одинаковая.
И МДФ и ДСП, можно красить акриловыми красками
(это те что на водной основе, как раз для работы внутри помещений).
В начале разбираем всю реставрируемую мебель на составляющие, снимаем все петли, ручки, замки (кстати можно их в конце работы заменить на новые, это так же своего рода реставрация и улучшение общего вида мебели).
Подготовка: Снимаем старый слой лака, или краски, снимаем до основы до "чистой плиты".
В случаем с красками, всё проще, есть в продаже смывки, в случае с лаком придётся приложить усилия.
Разогреваем (частично и не спеша) поверхность щитов строительным феном и убираем лак шпателем, работа займёт огромное количество времени.
Дальше, осматриваем мебель, если есть сколы, порезы, надо шпаклевать через грунтовку.
Предварительно убираем пыль и проходимся по поверхности уксусом (обезжириваем).
Затем после того как шпаклёвка высохла, проходимся по ней наждачной бумагой с мелким зерном, по остальной поверхности средне зернистой наждачной бумагой.
Следующий этап, это грунтовка, так как красим акриловыми красками, то и грунтуем акриловым грунтом.
Грунтовка высохла, осталось покрасить, обычно красят в два слоя, просушка после первого обязательна.
Это один из вариантов, если не хотите такой глобальности, то можно дать косметический ремонт, просто заделать те места где есть отметины от когтей кота, есть в продаже ремонтные воски и другие материала как раз для мелкого ремонта.
Можно и МДФ и ДСП, шпонировать, но это уже сложная работа, хотя возможна реставрация таким образом в домашних условиях.
Шпон сам по себе дорогой материал, плюс велика вероятность его (шпон) испортить, всё же советую при этом выборе метода реставрации, обратиться к профессионалам.
Можно просто заделать царапины и вскрыть лаком, в общем надо видеть ситуацию.