Лучше всего использовать акриловые краски (основа вода, выбор по цвету огромный).
Акриловые краски не имеют запаха, экологически безупречны.
Ложатся на ДСП прекрасно.
Грунтовка конечно же тоже акриловая.
Хотя подойдут даже масляные и эмалевые краски.
Честно говоря вопрос "чем" это не самое сложное в этой работе, гораздо сложней "как?".
Подготовка займёт гораздо больше времени чем сама покраска.
Шкаф придётся разбирать на составляющие (если же конечно нас интересует качество покраски).
Снимаем всю фурнитуру, щиты укладываем на горизонтальную поверхность, далее предстоит тяжелейшая работа, нам надо удалить старый лак, или старую краску, работаем наждачной бумагой, "играем" зернистостью (то есть меняем от крупной к средней и мелкой).
Далее, убираем пыль (тут важно знать что нельзя убирать пыль влажной тряпкой, можно сухой, или пылесосом, нам нужная сухая и чистая поверхность).
Затем грунтовка, далее просушка (обратите внимание на этот важный момент).
Только теперь можно приступать к окраске, красить можно даже кистями, можно валиком, или краскопультом (лучший вариант).
Чаще всего одного слоя мало. Обычно это два слоя, иногда три. С междуслойной просушкой.
В конце вскрываем окрашенные изделия лаком (лак бесцветный).
Я не писал о шпаклёвки, тут уже смотрите сами, шкаф новый, вряд ли он в таком состоянии что надо шпаклевать.


Я бы посоветовал подождать пока дети вырастут, ДСП не выдержит постоянного перекрашивания.