На мой взгляд, лучше начинать поиска проблем от простых к сложным.
Простые:
Новый унитаз, новая кнопка, сливная арматура и.т.п.
Новой кнопке нужно время для того чтобы детали притерлись между собой.
В первое время возможно залипание кнопки, но буквально через несколько нажатий на кнопку, она начинает опускаться и подниматься без залипаний.
Кнопка непосредственно связана со сливным механизмом бачка унитаза.
Пользователь опускает кнопку вниз, вода сливается. далее вода набирается, уровень воды в бачке регулируется поплавком, поплавок "всплывает" срабатывает клапан и перекрывает подачу воды в бачок.
Если давление воды недостаточное (например авария на водопроводе, или некие ремонтные работы со сбросом давления, но без полного перекрытия воды), или воду перекрыли вообще, то нажав на кнопку она опустится вниз, далее подниматься вверх не будет, или поднимается слишком медленно.
Остается только ждать нормализации давления в системе.
Возможно Вы приобрели унитаз с некачественной арматурой, некачественные механизмы лучше заменить (продаются отдельно от унитаза).
Или же унитазом пользуетесь давно, произошел естественный износ и кнопки в том числе, меняем на новую, или неправильно пользуетесь сливным механизмом, механические повреждения.
Более сложные причины:
Чтобы их обнаружить нужно снять крышку бачка унитаза, кнопка опущена вниз, откручиваем кольцо кнопки против часовой стрелки.
Кнопка может быть одиночной, у меня установлена вот такая двойная
она снимается чуть иначе, одна половина кнопки опускается вниз, вторую половину поддеваем ножом, снимаем, откручиваем винт и вынимаем кнопку на себя и вверх.
Сняли кнопку (вначале перекройте кран подачи воды в бачок унитаза), обратите внимание на "посадочное место" (ну или "гнездо" кнопки) и на саму кнопку, возможно там налет ржавчины, или известковый налет.
Тщательно очищаем кнопку от загрязнений, собираем в обратной последовательности сливаем и смотрим на результат.
Возможно при установки слишком сильно затянули кнопку, пробуйте чуть опустить её и далее смотрите на результат.
Возможно кнопка у Вас не просто залипает, а проваливается. в этом случае нужна более тонкая регулировка сливного механизма.