Кто должен делать (за чей счёт) ремонт в общем тамбуре в многоквартирном доме?

Так называемый "тамбур" может быть в проекте многоквартирного дома, такое помещение обслуживает несколько квартир, то есть тамбур не является частью одной квартиры.

А это значит что тамбур относится к обще-домовому имуществу и ремонтировать тамбур должна управляющая компания, или ЖЭК.

Тем более что в том самом тамбуре может находиться вот такой

Но периодичность обслуживания (ремонта) строго регламентированы, к примеру косметический ремонт раз в 5-6 лет.

Если хотите сделать ремонт раньше этих сроков, пишите коллективную заявку в УК собирайте дополнительные средства и силами УК, Вам сделают ремонт в тамбуре.

Есть и другой вариант, во многих многоквартирных домах жильцы самостоятельно устанавливают тамбурную дверь на лестничной площадке, то есть тамбура нет в проекте и жильцы не получали разрешение на перепланировку (а это она и есть).

В этом случае управляющая компания конечно же тамбур ремонтировать не будет, у них просто нет доступа к нему.

Вас обяжут, или получить разрешение, или демонтировать тамбурную дверь, после этого УК сделает ремонт, потому что подъезды и лестничные площадки относятся к обще-домовому имуществу.

Вывод:

Тамбур ремонтирует УК (ЖЭК, ТСЖ), но бесплатность ремонта условное понятие, потому что жильцы ежемесячно вносят плату на ремонт и содержание обще-домового имущества.

А из личного опыта могу добавить, если хотите более дорогой ремонт (а не просто побелить и покрасить), то лучше скинуться с соседями (равные доли) и сделать ремонт в тамбуре своими силами.