Сразу же хочу отметить если плитка отошла (или отходит) отходит от поверхности, то её однозначно нужно демонтировать (снимать со стены), то есть речь о полной переделки работы.
После снятия плитки пробуйте очистить её торцы от фуги (затирки для шов), а так же прилегающую к стене поверхность кафеля очищаем от плиточного клея.
Если не получается, то покупаем новую плитку.
Причины (плитка не держится) могут быть следующие:
Вместо плиточного клея плитка укладывалась на раствор (цемент песок и клей ПВА), не соблюдали пропорции цемента и песка в растворе, или использовали просроченный цемент, или в растворе недостаточно клея ПВА.
Перед укладкой на раствор плитку нужно замачивать и причём вот таким образом
(плитка полностью погружена в воду, а не частично).
При укладке на плиточный клей замачивание плитки не требуется.
Возможно не грунтовали поверхность, или загрунтовали, но не дали время на полную просушку грунтовочного слоя.
Возможно использовали не ту грунтовку, например стены были окрашены масляной краской, краску лучше убрать полностью, если и класть кафель на краску (при условии что она хорошо держится) то нужна грунтовка "Бетонконтакт", а не грунтовка глубокого проникновения.
Ещё лучше дать насечку по краске (я это делаю топором, удары наносим вскользь, а не по прямой).
Если этого не сделать, то плитка будет отходить от поверхности и даже при укладке на плиточный клей.
Возможно стены выше и ниже "кухонного фартука" готовились под покраску, выполнялось выравнивание поверхности с использованием финишной шпаклёвки.
На финишную шпаклёвку кафель лучше не класть (без насечки).
Нужно было вначале заштукатурить стену, затем сделать разметку и в районе "кухонного фартука" стену не шпаклевать.
Плитка прекрасно "ложится" на штукатурку (не затёртую).
Возможно грунтовку нужно было наносить в 2 и более слоёв (основание сильно впитывающее), если этого не сделать, то плитка отойдёт от поверхности (клей быстро теряет влагу, быстро высыхает отсюда и проблемы).
Возможно использовали просроченный плиточный клей, или не соблюдали пропорции воды и клея при его замесе.
Вывод:
Вначале определитесь с причиной (а их множество см. выше) далее правильная подготовка стены, грунтовка, штукатурка, просушка, грунтовка с просушкой под кафель.
Затем облицовка, кафель укладывается снизу вверх, так как речь о "фартуке", то под первый ряд нужна опора, я обычно использую или профиля, или ровные бруски.
Устанавливается по уровню (в горизонте).
Без опоры плитка будет съезжать.