Ответственность за балкон разделена поровну между владельцем квартиры и управляющей компанией.
Вы отвечаете за ограждения балкона, его козырёк, двери на балкон и.т.п, а вот за балконную плиту уже управляющая компания, она и должна её ремонтировать, не Вы.
Пишите заявление в УК (ЖЭК), приедут специалисты, оценят ситуацию и при необходимости выполнят ремонт.
Обще-домовое имущество ремонтировать самостоятельно не советую, тут нужны специалисты с лицензией на этот вид деятельности.
Но если всё же решили самостоятельно (хотя это чрезвычайно опасно и может привести к полному разрушению балконной плиты), то делается это так:
Выносите с балкона всё что там находится.
Далее осмотрите балконную плиту, демонтируйте раскрошившийся бетон, зачистите арматуру от ржавчины, обработайте антикоррозийными составами.
Далее устанавливается опалубка, крепится арматурная сетка и далее заливка бетона (или цементно-песчаного раствора с железнением на финише).
Но опять же нужен вывод специалистов (после осмотра) есть требования по нагрузке на балконную плиту.