Я бы начал с замены тех самых пробок, это и дешевле и работу можно выполнить самостоятельно.
Правильное название пробок "автоматический резьбовой предохранитель", вот так он выглядит.
Предохранители рассчитаны на определенную нагрузку, и если в сети перегрузка, "вылетают" пробки.
Или же короткое замыкание по вине какого-то неисправного бытового прибора.
Плюс сами пробки подлежат периодической замене, так как они изнашиваются.
Проверьте как работают бытовые приборы, можно методом исключения найти какой из них замыкает.
Возможно установили некий мощный бытовой прибор (накопительные, или проточные водонагреватели, стиральная машина, посудомойка и.т.д) старая проводка не рассчитана на такую нагрузку, срабатывает автоматы (точней, пробки в Вашем случае).
Пробки (предохранители) для квартир могут быть на 10 Ампер, 16, 20, 25.
Возможно у Вас пробки не рассчитаны на такую нагрузку.
Далее, электросчетчики должны проходить периодическую поверку, а первая поверка проводится на заводе изготовителе.
Ознакомьтесь с этой информацией в паспорте изделия, возможно электросчетчик уже не пригоден к дальнейшей эксплуатации, в этом случае можно заменить его на новый, но не самостоятельно и пломбы срывать самостоятельно тоже нельзя.
Что касается старой Советской электропроводки, то конечно лучше её заменить, и вместо алюминиевого двухжильного провода использовать медь три жилы, на розетки сечением 2,5 квадрата, на освещение и 1,5 квадратов достаточно.
Но даже в этом случае мощные бытовые приборы лучше подключать отдельной линией.
Так же важно правильно подобрать розетки, после замены проводки розетки нужны с заземляющими контактами.
Розетка на 10 Ампер (это пример для ориентира) выдерживает нагрузку в 2,2 кВт.
И ещё, если поменяете только счетчик, то пробки вылетать не будет (их там просто нет) но могут срабатывать автоматы.
Например короткое замыкание неисправного электроприбора.
То есть вопрос гораздо шире.
Вывод:
Начать лучше с пробок (замена), далее электропроводка.
А замена счетчика на последнем месте, не из-за него у Вас вылетают пробки.