Нащельник (раскладка)
крепится к деревянной поверхности (фанера в Вашем случае) или гвоздями, или саморезами по дереву.
Шляпки гвоздей можно предварительно откусить.
Далее отрезаете нащельник по размеру (длине, при необходимости углы подрезаем в стусле) прикладываете к поверхности и забиваете в них гвозди (шаг между гвоздями от длины нащельника), если работаем с саморезами, то в подготовку лучше включить предварительное высверливание отверстий и далее закручиваем саморезы через нащельник к поверхности.
На финише головки гвоздей и саморезов шпаклюются, сам нащельник, можно покрасить, вскрыть лаком и.т.п.


Нащельник Вам не нужен вообще, надо эти самые щели, или зашпаклевать (шпаклёвки по дереву, есть эластичные), или купить более широкий плинтус, нащельник вместе с потолочным плинтусом смотрится эстетически не привлекательно.
Стыки, щели закрываются, или плинтусами, или нащельниками, а не тем и другим одновременно.
Скорей всего нарушена технология монтажа фанеры, зазоры оставлены слишком большие.