Зависит от проекта вашей барбекюшницы. Если не планируете отделку, то снаружи лучше всего подойдёт облицовочный кирпич, в местах сильного нагрева специальный огнеупорный, если есть идея оштукатурить или отделать керамической плиткой, то подойдёт любой кирпич, но тем не менее опять же в местах сильного нагрева крайне желателен специальный огнеупорный кирпич.
Да, если под штукатурку, то лучше кирпич брать попроще, штукатурить по облицовочному кирпичу дело чрезвычайно хлопотное, потребуется сетка как минимум.
