Можно ли просверлить стеклянный фартук на кухне и установить розетку, если можно, то чем?

Крайне важно учитывать из какого стекла изготовлен тот самый "фартук" на кухне.

Если это качественное изделие (оно значительно дороже) то изготавливается такой фартук из закалённого стекла и просверлить в нём, даже не большие отверстия (к примеру для установки наружной розетки) не получится.

Отверстия в таких "фартуках" делаются на производстве и до закалки стекла, а не после.

Более дешёвые "фартуки" изготавливаются из обычного не закалённого стекла, просверлить такое стекло можно.

Нужны, или вот такие копьевидные свёрла

Вот это в целом, но Вы уже совершили довольно значительную ошибку, стеклянные фартуки изготавливаются по индивидуальным размерам + на производстве в них сверлятся отверстия под розетки.

Даже если Вы сможете установить наружную розетку на стекло, то всё равно к розетки нужно протянуть провода, которые уже уложить в штробы не получится.

Придётся прямо по фартуку прокладывать провода в кабель каналах.

Из личного опыта могу посоветовать, если ошиблись с последовательностью выполнения работ, или не всё учли пр заказе стеклянного фартука, то лучше розетки устанавливать в ином месте.

Я у себя установил выдвижные розетки которые монтируются в плоскость столешницы.

Или же устанавливайте розетки в кухонный цоколь (то есть не высоко от пола).

Кухонный цоколь, это декоративная планка которая скрывает опоры кухонной мебели.

Или же устанавливайте розетки на других стенах (левей, правей "фартука").