И штукатурные и кладочные растворы могут быть совершено разными.
Например штукатурка может быть гипсовой, цементно-песчаной, известковой, известкового гипсовой, глиняной (цементно-глиняной), то есть вяжущими веществами может она отличаться от кладочного раствора.
Так как речь о кладке кирпича, то чаще всего кладочный раствор цементно-песчаный.
И кладочный раствор и штукатурный может продаваться в готовом виде, как правило кладочные растворы чуть дороже (это в целом, но могут быть и нюансы).
Штукатурка может быть механизированного и ручного нанесения, может быть теплоизоляционной. декоративной.
Тут отличий ещё больше, отличий по составу.
Штукатурка, как и кладочные растворы может использоваться как при внутренних работах, так и при наружных (речь о выравнивающих штукатурках).
В состав штукатурных растворов (но это необязательно) могут вводиться различные добавки повышающие пластичность, прочность, улучшающие адгезию, морозостойкость, влагостойкость и.т.п, состава.
Если речь о цементно-песчаных составах (и кладочный раствор и штукатурка), то может использоваться цемент разной марки.
Консистенцией растворов они тоже могут отличаться, как и фракцией заполнителя (песка).
Пропорции при замесе тоже могут быть разными (то есть количественное отношение вяжущего к песку, воде).
Основное отличие кладочного раствора от штукатурного, это прочность (прочность на сжатие), к этой характеристики особое внимание, а так же пластичность.
Так же отличаются они назначением, штукатурный раствор выравнивает поверхность в ноль (если речь не о декоративной штукатурке), а кладочный используется для кладки кирпича в Вашем случае (есть ещё кладочные растворы для строительных блоков).
Песок для кладочного раствора используется более мелкой фракции, если готовите раствор самостоятельно, то песок нужно просеивать.
А из личного опыта могу добавить, кладочный раствор вполне может использоваться вместо штукатурного и наоборот.
У себя в старой квартире я закладывал окно (оконный проем) между туалетом и ванной комнатой, кирпичом.
Кирпич клал на цементно-песчаный раствор и этим же раствором штукатурил, то есть в моем случае никаких отличий нет.
Мое мнение, правильней сравнивать конкретный штукатурный раствор с конкретным кладочным и плюс учитывать в каких условиях они будут эксплуатироваться (см. выше о добавках в растворы для улучшения различных характеристик).