Как открутить винт, если у него сильно разбит шлиц?

Я в таких случаях достаю пару специальных инструментов.

Первый инструмент это специальные пассатижи-экстраторы.

Губки у них заточены особым образом. Борозды (зубцы) на них не поперек губок а по вдоль, и сделаны полукругом. Очень хорошо подходят для шлицевых головок болтов от 8-10 мм. и больше. Хватка вполне себе ни чего, можно и вороток применить при необходимости, заломив его между ручек. Бокорезы на этих пассатижах не очень хороши, но с прямым своим назначением - выворачивание винтов с сорванными шлицами и гранями, они справляются на оценку "хорошо"

Вот видео работы этого инструмента, не реклама (!) но наглядности и примера ради -

Но еще задолго до того как купил себе такие пассатижи-экстракторы, присмотрел себе другой инструмент, ни чего не имеющий общего со слесарными работами, но с успехом применяемым мною в этих целях. Тоже как то мучаясь с выкручиванием старого шурупа, когда на глаза попалось это.

Это обычные щипцы стоматологические -

Как оказалось эти щипцы стали основным инструментом спасающим положение в таких трудных ситуациях, какая обозначена в вопросе. Даже если головка шурупа (винта или самореза) торчит чуть-чуть ими можно ухватиться за края, и вывернут. Если попадутся, очень рекомендую приобрести - вещь архиполезная для домашнего мастера!

Выворачивал ими шурупы в старых шарнирах входных дверей. Металл отменный, сломать почти не возможно, губки не стираются и не изгибаются (у меня совдеповских времен эти щипцы) Шурупы с диаметром головки на 10 мм, и резьбовой части около 6 мм, со скрипом выходили повинуясь только этим щипцам (плоский шлиц под отвертку был безнадежно убит) и зубило лишь срывало заусенцы по краям.