Важно учитывать из какого материала изготовлена тумбочка, а так же учитывается степень повреждения.
Если краска отслаивается от всей поверхности, то её нужно удалять, это можно сделать термическим способом (нагреваем феном, удаляем шпателями, или химическим (смывки) механическим.
После удаления отслаивающейся краски, убираем пыль с поверхности, малярным скотчем заклеиваем места которые не окрашиваются.
Я бы вообще разобрал тумбочку полностью, снял фурнитуру.
Далее грунтовка с просушкой и окраска в два слоя с просушкой.
Краска нужна водостойкая, я красил аэрозольной эмалью для кухонных фасадов (мебельных) и не только. грунтовку тоже можно купить аэрозольную (в баллончиках).
Грунтовка должна быть совместима с краской.
Если краска отслаивается локально и полностью её удалять не планируете, то можно убрать отслоения, далее при помощи наждачной бумаги с мелким зерном зашкурить поверхность (адгезия будет лучше).
Далее убираем пыль, при необходимости обезжириваем, затем грунтовка с просушкой и можно красить.
Если варианты с перекраской не подходят, можно приобрести самоклеющуюся пленку, она влагостойкая.
Убираем краску которая отслаивается, убираем пыль, далее обезжириваем поверхность, я использовал уайт-спирит, но есть и другие варианты.
Снимаем размеры поверхности на которую наклеивается пленка.
Отрезаем пленку с запасом (чуть больше по размеру).
Далее прикладываем пленку к краю поверхности (тумбочки, в Вашем случае), постепенно отделяем "подложку" от пленки и приклеиваем её к поверхности.
При этом прижимаем и разглаживаем пленку шпателем, шпатель не металлический чтобы не "травмировать" пленку.
Всё, прогреваем поверхность обычным бытовым феном и ещё раз разглаживаем пленку. выгоняем остатки воздуха из под неё.
На финише лишнее обрезается, можно канцелярским ножом во сменными лезвиями.
Не забудьте о кромлении, то есть нужна мебельная кромка.
И ещё, уделите внимание вентиляции в помещении, видимо влажность сильно повышенная раз с мебели краска отходит, при необходимости делаем принудительную вентиляцию и желательно в ванной комнате установить рабочий полотенцесушитель.