Да, класть новую плитку на старую, можно.
Более, того это довольно частое явление (не уникальное).
Вариантов почему заказчики оставляют старую плитку, множество, основной это не желание пыльных, шумных и грязных работ при снятии старого кафеля.
Не на каждый кафель можно класть плитку.
Надо простучать стены, звук не должен быть пустым, то есть старый кафель должен сидеть "мёртво" на стене. Это основное.
А подготовка обычная, для начала убираем всю пыль, уделяем внимание швам на старой плитке, плесень, грязь и всё такое, удаляем.
Возможно на старом кафеле есть жировые пятна, или жировые отложения, не будем рисковать и обезжирим кафель.
Теперь покупаем грунтовку "Бетоноконтакт", она специально разработана для поверхностей плохо впитывающих влагу, в составе это грунтовки кварцевый песок, что повысит адгезию.
Грунтовка должна высохнуть. Теперь выбираем клей.
Я бы посоветовал Ceresit СМ 115,
но подойдёт и СМ 16 и СМ 117, любой из этих клеев, прекрасно зафиксирует новую плитку на старой.
Да, забыл о главном, лучше слой большой не давать при такой облицовки, и сохнуть будет долго степень сцепления будет не та.
По этой причине "пробейте" старый кафель на ровность укладки, слишком не ровные стены, это плохо, в этом случае советую не кафель на кафель, а каркас и на него гипсокартон, работа не пыльная, каркасом можно выровнять стены, старый кафель сбивать не надо.
Второй вариант, гипсокартон на тот же плиточный клей с такой же подготовкой (обезжиривание, бетоноконтакт и так далее), но дополнительно усиливаем гипсокартон дюбель-зонтиками.