1) Архитектурный отдел (надо идти в Горсовет).
Меняется фасад здания (я имею в виду внешний вид), в плите балкона делается люк, поэтому без посещения этого отдела получить разрешение не получится.
Тут есть не большой совет. Сразу окрашивайте, или оштукатуривайте своё строение (я имею в виду соединять нижнюю часть балкон с землёй Вы же будете, по другому погреб будет выглядеть не логично) под цвет фасада дома, всё равно заставят переделывать.
2) Водоканал (под балконом могут находиться трубы, на не большой глубине).
3) Теплосети (отопление, горячая вода).
4) Электросети .
5) Газовая контора.
Под балконом могут проходить коммуникации, без этих служб разрешение не получить.
6) Пожарники (МЧС), без них вообще ни чего не получить.
7) Собрать собрание жильцов Вашего дома и на повестку дня вынести свой вопрос, если дадут "добро", то можно приступать.
А вообще в начале лучше узнать на какой глубине и как близко от балкона проходит у Вас газовая труба, если где-то рядом с Вами, то просто откажитесь от погреба никуда не бегая. Разрешения от газовщиков Вы не получите в любом случае.