Вариантов клея очень много, но так как Вы пишите о детской комнате, то советую купить клей на водной основе, он на 100% экологичен.
Вот к примеру не плохой "UZIN MK 61",
это клей паркетный, но работает и фанера-стяжка, фанера-паркет и так далее.
Помимо клея так же важно правильно подготовить фанеру под укладку на бетонную стяжку.
Поверхность должна быть практически идеально ровной, сухой (если стяжка не высохла, то надо обязательно дать время на полную просушку), и обязательно загрунтованной с просушкой.
Чаще всего фанеру не только сажают на клей, но и клей дублируется ударными дюбелями,
это лучший вариант.
Так же важно помнить, фанера распускается на более меньшие листы, фанера укладывается с зазором (2-3-и мм) между листами и с с зазором между стеной и фанерой (10-и мм, будет достаточно).
В случае полов лучше использовать влагостойкую фанеру, если взяли обычную, то нужна пропитка к примеру олифой (натуральной) не забудьте и о торцах фанеры.