Конечно желательно выяснить что это за пятна (от чего) иначе можно не справиться.
В продаже есть очень качественное средство по уходу и главное очистки кафеля "Mellerud" (Меллеруд).
В начале пробуйте сделать следующее:
Деревянной лопаткой (что бы не поцарапать кафель и не оставить на нём следы, следы оставляет металлический шпатель) очистите значительное загрязнение.
Намочите тряпку в тёплой воде и положите на загрязнения, через пол часа пробуйте смыть.
Если на поверхности капли от грунтовки, то можно смыть этой же грунтовкой, (такого же типа и состава).
Нанесли свежую грунтовку на загрязнения чуть подождали и сразу вытерли влажными тряпками, затем сухими.
Если будете сразу использовать чистящее "Mellerud" (кстати справляется почти со всеми видами загрязнений на керамической плитки), то потренируйтесь в менее заметном месте.
Средство разводится с водой (если загрязнения значительные, то можно использовать и в чистом виде) наносится на поверхность губкой и опять чуть ждём, затем смываем водой.
Если на кафеле краска, пробуйте Уайт-Спирит, пену сухую можно просто снять лопаткой, герметик тоже самое, они на поверхности кафеля, а не внутри его.
Если какие-то цементные растворы, то есть в продаже смывки строительных растворов, вот не плохая очиститель "ПрофХим"
работает и по кафелю, удаляет цементные и известковые растворы.
Но и в этом случае в начале пробуем в малозаметном месте, или на остатках кафеля.
Поверхность чуть увлажняем, наносим кистью средство, ждём в районе 5-и минут и смываем водой.