Причины появления плесени за зеркалом следующие:
Плохая вентиляция в ванной комнате.
Зеркало весит на наружной стене (несущая стена ванна-подъезд), стена не утеплена.
В ванной комнате отсутствует полотенцесушитель, то есть по сути помещение не отапливается вообще.
Зеркало установлено слишком близко к стене (зеркало без рамы) пространство между зеркалом и стеной не вентилируется.
Пористая поверхность, или у зеркала (с внутренней стороны) или у стены на которой оно установлена, влага постоянно собирается за зеркалом, там где сырость там и плесень.
Что делать зависит от причины, в начале проверьте как работает вентиляция в этом помещении, снимите вентиляционные решётки и почистите вентиляцию, возможно не помешкает установка вентилятора принудительной вентиляции.
Двери в ванной чаще всего с порогом, поэтому нет вентиляционного зазора дверное полотно-пол, в нижней части двери можно просверлить вентиляционные отверстия если их нет.
Установите полотенцесушитель, если нет возможности установить водяной, купите электрический полотенцесушитель.
Снимите зеркало и наклейте на заднюю поверхность подкладки (к примеру резиновые) таким образом Вы отодвинете зеркало от стены и поверхность за ним будет вентилируемой.
Ну и + нужно убрать саму плесень, снимите зеркало, если оно на кафеле, то скорей всего плесень и в швах между плитками.
Полностью удаляем фугу из швов в этом месте.
Далее обрабатываем швы любым средством из серии "анти-плесень" и фугуем повторно. Затирку лучше брать с анти-грибковыми добавками, я обычно покупаю фугу "Церезит CE 40".
Если стена за зеркалом холодная, то можно купить вот такой плёночный обогреватель для зеркал,
одновременно решите проблему излишней влажности за зеркалом и зеркало не будет запотевать.